在古罗马时期，犹太历史学家约瑟夫斯领导犹太人反对罗马帝国的统治，并与罗马军队进行激烈的战斗。然而，在罗马军队的围困下，约瑟夫与其士兵被困在一个山洞里，总共有41人。约瑟夫希望向罗马军队投降，但他的士兵却视死如归，拒绝投降。约瑟夫陷入了困境，因为如果他表达投降的意愿，士兵们很可能会杀掉他。面对这种局面，约瑟夫需寻找一种能够确保自己安全的解决办法。

　　于是约瑟夫斯利用了犹太教中关于自杀耻辱的教义，说咱们不能自杀，咱们可以互相杀，怎么互相杀，谁来杀呢？约瑟夫找到了士兵们都能接受的解决方案：让大家围成一个圈，按照顺时针的顺序杀掉旁边的人，一轮一轮地进行，直到最后只剩下一个人。通过这种方法，约瑟夫能够实现投降的目的，同时也能保证自己的安全。士兵们都认为这个办法可行，并按照约瑟夫的要求行动起来。

　　约瑟夫斯是个数学家，他当然很快就知道自己应该站在哪个位置而不会被杀死。当所有人都被杀死后，他走出山洞，投降了罗马人。

　　通过这种数学方法，约瑟夫成功地解决了困境，实现了投降的目的。最后的幸存者序号就是约瑟夫的当前位置，他通过精确计算，站在第19号位置上，并顺利地获救了。

　　经过对约瑟夫问题的思考和探索，约瑟夫总结出了一条规律：在参与游戏的总人数为2的n次幂时，最后的幸存者一定是1号；而当总人数不满足2的n次幂时，最后的幸存者序号为2a1，其中a是大于参与人数的最大2的n次幂。

　　这个规律其实也可以通过归纳法进行证明。假设参与人数为2的n次幂a时，最后的幸存者是1号，现在有2的n次幂a1个人参与，那么可以将其拆分为两部分：一部分为2的n次幂a的人数，另一部分为剩下的那个人。而根据上述规律，2的n次幂a这部分人最后的幸存者一定是1号。然后再将这两部分合并在一起，那么最后的幸存者序号就变成了合并后剩下这个人的序号，即2a1。